光谱流式细胞术解混的数学模型，告诉了我们为什么有时候解混效果不好

niwanmao

Mathematics of spectral unmixing │Peter Mage │ Babraham Institute Spectral Symposium 2022 - YouTube视频中，彼得·梅吉博士深入浅出地讲解了光谱流式细胞术背后的数学原理。我们将视频中的内容做一下编译，与大家分享。

彼得开头说道，“每一个在你的细胞仪、实验、电脑，甚至大脑中发生的事情，都是可以解释的。”

他将细胞术描述为将看不见的分子信息转化为人类或机器可以解读的信号的过程。“我们正在将分子信息编码为光，将光转化为电子，再将电子转化为系统中的比特。然后，关键的是，我们将这些数字转换为生物学上有意义的东西。”

为了说明光谱解混的概念，彼得意外地转向了手指画和TikTok的世界。“在疫情期间，有些人可能投入了更高尚的追求，比如手指画，”他开玩笑说。观众们笑了，想知道他要讲什么。

他解释说，将原色混合成新颜色类似于在细胞术中组合荧光信号。就像训练有素的人可以看着混合的颜色推断出使用了哪些原色一样，光谱解混算法可以解码不同荧光染料对测量光谱的相对贡献。


尽管手指画的类比很有吸引力，但彼得知道他需要更深入地探讨数学才能真正解释光谱细胞术的复杂性。“事实证明，有一个叫做线性代数的数学领域专门处理我们刚才谈到的这种变换，”他说，眼中闪烁着热情。

彼得用矩阵表示法引导观众理解细胞仪中的信号生成过程。引入了以下变量：
- R：参考光谱矩阵（也称为溢出矩阵）
- A：荧光染料丰度向量
- M：探测器测量的混合信号

生成信号的正向问题表示为方程：
M = R * A

但在实际实验中，研究人员需逆向求解：即给定测量信号（M）和参考光谱（R），我们如何确定荧光染料的丰度（A）？这就涉及到矩阵求逆：
A = R^(-1) * M

彼得解释说，光谱解混本质上是相同的过程，但探测器比染料多。唯一的区别是，解混是从高维空间（探测器测量）映射到低维空间（染料丰度）。

随着深入探讨，彼得引入了伪逆矩阵的概念，用R^†表示。这一矩阵是从探测器空间映射回生物学相关的未混合空间的关键。

但彼得不仅仅满足于解释解混过程。他还想回答一个关键问题：我们解混的效果如何？最终的生物分辨率的质量如何？

为了解答这个问题，他引入了噪声传播的概念。从分子空间到测量空间的过程中，引入了各种噪声源：探测器中的电子噪声、光子计数误差和细胞仪的系统性变异。重要的是，这些噪声在解混过程中被带回生物空间。

彼得展示了一个方程，描述了探测器噪声如何转化为未混合信号中的噪声：
Var(Aunmixedi) = Σ(j=1 to n) [Var(Mj) * (R^†)ij^2]

这个方程揭示了两个关键点：
- 探测器中的噪声越多，解混信号中的噪声越多。
- 伪逆矩阵中的较大值导致最终生物信号中的噪声增加。

彼得将这个数学框架与许多观众熟悉的概念联系起来：相似性评分和复杂度评分。他解释说，高相似度的光谱往往导致伪逆矩阵中的较大值，从而增加未混合数据中的噪声。

复杂度评分实际上是一个叫做矩阵条件数的度量。它提供了伪逆矩阵中值可能有多大的总体度量，从而预测了未混合数据中的噪声水平。

为了说明这些概念，彼得分享了40色和51色组合的实验数据，展示了用不同矩阵对同一原始数据进行解混如何显著影响最终结果，演示了组合设计对数据质量的影响。


彼得讨论了光谱细胞术数据中出现的倾斜负群体的现象。他使用模拟和数学分析展示了这些倾斜群体可以通过检查伪逆矩阵中不同染料之间的相关性来预测。

“数学实际上确实预测了我们一直看到的这些复杂的倾斜负群体，”彼得说道，声音中充满了解开谜题的满足感。

在演讲接近尾声时，彼得反思了这种数学理解对细胞术领域的影响。“我们都在努力从数据中获得最佳特征，以得出某些生物学结论，”他说。“通过在直观层面上思考这个问题，利用线性代数，你可以建立一个心智模型，帮助你理解实验中发生了什么，如何向他人解释，以及希望找到新的方法来进行这些实验。”

事实证明，光谱细胞术的多彩世界不仅仅是关于荧光染料和细胞标记物，还涉及到数字和矩阵。通过这种更深入的理解，大家在研究中可以更好的去发现细胞生物学复杂世界。